لعدة قرون، استحوذت الأعداد الأولية على خيال علماء الرياضيات، الذين يواصلون البحث عن أنماط جديدة تساعد في التعرف عليها وطريقة توزيعها بين الأعداد الأخرى. الأعداد الأولية هي أعداد صحيحة أكبر من 1 ولا تقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسها. الثلاثة الأصغر الأعداد الأولية هي 2 و3 و5. من السهل معرفة ما إذا كانت الأعداد الصغيرة أولية، ويحتاج المرء ببساطة إلى التحقق من الأرقام التي يمكنها تحليلها. ومع ذلك، عندما ينظر علماء الرياضيات إلى الأعداد الكبيرة، فإن مهمة التمييز أي منها رئيس الوزراء بسرعة الفطر في الصعوبة. على الرغم من أنه قد يكون من العملي التحقق مما إذا كانت الأعداد 10 أو 1000، على سبيل المثال، تحتوي على أكثر من عاملين، إلا أن هذه الإستراتيجية غير مواتية أو حتى لا يمكن الدفاع عنها للتحقق مما إذا كانت الأعداد العملاقة أولية أم مركبة. على سبيل المثال، أكبر عدد أولي معروف، وهو 2136279841 – 1، يتكون من 41,024,320 رقمًا. في البداية، قد يبدو هذا الرقم كبيرًا بشكل مذهل.

ونظرًا لوجود عدد لا نهائي من الأعداد الصحيحة الموجبة بمختلف الأحجام، فإن هذا العدد صغير جدًا مقارنة بالأعداد الأولية الأكبر حجمًا.

علاوة على ذلك، يريد علماء الرياضيات أن يفعلوا أكثر من مجرد المحاولة المملة أرقام العوامل واحدا تلو الآخر لتحديد ما إذا كان أي عدد صحيح معين هو أولي. يقول كين أونو، عالم الرياضيات في جامعة فيرجينيا: “نحن مهتمون بالأعداد الأولية لأن هناك عددًا لا نهائيًا منها، ولكن من الصعب جدًا تحديد أي أنماط فيها”. ومع ذلك، فإن أحد الأهداف الرئيسية هو تحديد كيفية توزيع الأعداد الأولية ضمن مجموعات أكبر من الأعداد.

في الآونة الأخيرة، حدد أونو واثنان من زملائه – ويليام كريج، عالم الرياضيات في الأكاديمية البحرية الأمريكية، وجان ويليم فان إيترسوم، عالم الرياضيات في جامعة كولونيا في ألمانيا – نهجًا جديدًا تمامًا للعثور على الأعداد الأولية. يقول أونو: “لقد وصفنا عددًا لا نهائيًا من أنواع المعايير الجديدة لتحديد مجموعة الأعداد الأولية بدقة، وكلها مختلفة تمامًا عن عبارة “إذا لم تتمكن من تحليلها، فيجب أن تكون أولية”.” ورقة هو وزملاؤه ، نشرت في وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم بالولايات المتحدة الأمريكية, كان الوصيف لجائزة العلوم الفيزيائية التي تعترف بالتميز العلمي والأصالة. ويشير أونو إلى أن هذا الاكتشاف يقدم، إلى حد ما، عددًا لا حصر له من التعريفات الجديدة لما يعنيه أن تكون الأعداد أولية.

في قلب استراتيجية الفريق توجد فكرة تسمى الأقسام الصحيحة. يقول أونو: “نظرية التقسيم قديمة جدًا”. ويعود تاريخها إلى عالم الرياضيات السويسري ليونارد أويلر في القرن الثامن عشر، وقد استمر علماء الرياضيات في توسيعها وصقلها مع مرور الوقت. يقول أونو: “تبدو الفواصل للوهلة الأولى وكأنها مادة للعب الأطفال”. “كم عدد الطرق التي يمكنك من خلالها جمع الأرقام للحصول على أرقام أخرى؟” على سبيل المثال، الرقم 5 له سبعة أقسام: 4 + 1، 3 + 2، 3 + 1 + 1، 2 + 2 + 1، 2 + 1 + 1 + 1 و 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

ومع ذلك، فقد تبين أن هذا المفهوم قوي كمفتاح مخفي يفتح طرقًا جديدة لكشف الأعداد الأولية. تقول كاثرين برينجمان، عالمة الرياضيات في جامعة كولونيا: “من اللافت للنظر أن مثل هذا الجسم التوافقي الكلاسيكي – دالة التقسيم – يمكن استخدامه للكشف عن الأعداد الأولية بهذه الطريقة الجديدة”. (لقد عملت برينجمان مع أونو وكريج من قبل، وهي حاليًا مستشارة فان إيترسوم لمرحلة ما بعد الدكتوراه، لكنها لم تشارك في هذا البحث). ويشير أونو إلى أن فكرة هذا النهج نشأت من سؤال طرحه أحد طلابه السابقين، روبرت شنايدر، وهو الآن عالم رياضيات في جامعة ميشيغان التكنولوجية.

أثبت أونو وكريج وفان إيترسوم أن الأعداد الأولية هي حلول لعدد لا حصر له من نوع معين من المعادلات متعددة الحدود في دوال التقسيم. اسمه معادلات ديوفانتين وفقًا لعالم الرياضيات ديوفانتوس السكندري في القرن الثالث (ودرس قبله بوقت طويل)، يمكن أن يكون لهذه التعبيرات حلول صحيحة أو حلول عقلانية (بمعنى أنه يمكن كتابتها على شكل كسر). وبعبارة أخرى، تظهر النتائج أن “الأقسام الصحيحة تكتشف الأعداد الأولية بطرق طبيعية لا حصر لها”، كما كتب الباحثون في بحثهم. بناس ورق.

جورج أندروز، عالم الرياضيات في جامعة ولاية بنسلفانيا، الذي قام بتحرير بناس ورقة بحثية ولكن لم تشارك في البحث، تصف النتائج بأنها “شيء جديد تمامًا” و”ليس شيئًا كان متوقعًا”، مما يجعل من الصعب التنبؤ “إلى أين ستؤدي”.

متعلق ب: ما هو أكبر عدد أولي معروف؟

ويتجاوز هذا الاكتشاف مجرد التحقق من توزيع الأعداد الأولية. يقول أونو: “إننا في الواقع نثبت جميع الأعداد الأولية على الأنف”. في هذه الطريقة، يمكنك التعويض بعدد صحيح يبلغ 2 أو أكبر في معادلات معينة، وإذا كانت صحيحة، فإن العدد الصحيح أولي. إحدى هذه المعادلات هي (3ن³ – 13ن² + 18ن – 8)م₁(ن) + (12ن² – 120ن + 212)م₂(ن) – 960م₃(ن) = 0، حيث م₁(ن)، م₂(ن) و م₃(ن) هي وظائف قسم مدروسة جيدًا. وكتب الباحثون في بحثهم: “بشكل عام، بالنسبة لنوع معين من دالة التقسيم، فإننا نثبت أن هناك عددًا لا نهائيًا من معادلات الكشف الأولية ذات المعاملات الثابتة”. بناس ورق. وبعبارة أكثر بساطة، يقول أونو: “يبدو الأمر كما لو أن عملنا يوفر لك عددًا لا نهائيًا من التعريفات الجديدة للأعداد الأولية”. “هذا نوع من العقل المذهل.”

ويشير برينجمان إلى أن النتائج التي توصل إليها الفريق يمكن أن تؤدي إلى العديد من الاكتشافات الجديدة. وتقول: “إلى جانب اهتمامه الرياضي الجوهري، قد يلهم هذا العمل المزيد من التحقيقات في الخصائص الجبرية أو التحليلية المدهشة المخفية في الوظائف التوافقية”. في التوافقيات – رياضيات العد – تُستخدم الوظائف التوافقية لوصف عدد الطرق التي يمكن من خلالها اختيار العناصر في المجموعات أو ترتيبها. وتضيف: “على نطاق أوسع، يظهر هذا ثراء الروابط في الرياضيات”. “هذه الأنواع من النتائج غالبا ما تحفز التفكير الجديد عبر المجالات الفرعية.”

يقترح برينجمان بعض الطرق المحتملة التي يمكن لعلماء الرياضيات الاستفادة منها في البحث. على سبيل المثال، يمكنهم استكشاف الأنواع الأخرى من الهياكل الرياضية التي يمكن العثور عليها باستخدام وظائف التقسيم أو البحث عن طرق يمكن من خلالها توسيع النتيجة الرئيسية لدراسة أنواع مختلفة من الأرقام. “هل هناك تعميمات للنتيجة الرئيسية على تسلسلات أخرى، مثل الأعداد المركبة أو قيم الدوال الحسابية؟” تسأل.

يقول أندروز: “كين أونو، في رأيي، هو أحد أكثر علماء الرياضيات إثارة في الوقت الحاضر”. “هذه ليست المرة الأولى التي يرى فيها مشكلة كلاسيكية ويسلط الضوء على أشياء جديدة حقًا.”

لا يزال هناك وفرة من أسئلة مفتوحة حول الأعداد الأولية، والعديد منها طويل الأمد. مثالان هما التخمين التوأم الأولي و حدسية غولدباخ. تنص حدسية التوأم الأولية على أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية التوأم — الأعداد الأولية التي تفصل بينها قيمة اثنين. الرقمان 5 و 7 هما أعداد أولية توأمية، كما هو الحال مع 11 و 13. تنص حدسية غولدباخ على أن “كل رقم زوجي أكبر من 2 هو مجموع عددين أوليين بطريقة واحدة على الأقل”، كما يقول أونو. لكن لم يثبت أحد صحة هذا التخمين.

يقول أونو: “لقد أربكت مثل هذه المشاكل علماء الرياضيات ومنظري الأعداد لأجيال، طوال تاريخ نظرية الأعداد تقريبًا”. على الرغم من أن النتائج التي توصل إليها فريقه مؤخرًا لا تحل هذه المشكلات، إلا أنه يقول إنها مثال عميق على كيفية قيام علماء الرياضيات بدفع الحدود لفهم الطبيعة الغامضة للأعداد الأولية بشكل أفضل.

تم نشر هذه المقالة لأول مرة في العلمية الأمريكية. © ساينتفيك أمريكان.كوم. جميع الحقوق محفوظة. تابع تيك توك وإنستغرام, X و فيسبوك.