عندما يكشف أعظم عالم رياضيات على قيد الحياة عن رؤية للقرن القادم من البحث، الرياضيات العالم يأخذ علما. وهذا بالضبط ما حدث في عام 1900 في المؤتمر الدولي لعلماء الرياضيات في جامعة السوربون في باريس. عالم الرياضيات الأسطوري ديفيد هيلبرت قدم 10 مشاكل لم تحل كمعالم إرشادية طموحة للقرن العشرين. قام لاحقًا بتوسيع قائمته لتشمل 23 مشكلةولا يمكن المبالغة في تقدير تأثيرها على الفكر الرياضي على مدار الـ 125 عامًا الماضية.

كانت مسألة هيلبرت السادسة واحدة من أسمى المسائل. ودعا إلى “إضفاء بديهية” على الفيزياء، أو تحديد الحد الأدنى من الافتراضات الرياضية وراء كل نظرياتها. بتفسيرها على نطاق واسع، ليس من الواضح ذلك علماء الفيزياء الرياضية يمكن أن يعرفوا ما إذا كانوا قد حلوا هذا التحدي. ومع ذلك، ذكر هيلبرت بعض الأهداف الفرعية المحددة، ومنذ ذلك الحين قام الباحثون بتحسين رؤيته إلى خطوات ملموسة نحو حلها.

في شهر مارس، نشر علماء الرياضيات يو دينغ من جامعة شيكاغو وزاهر هاني وشياو ما من جامعة ميشيغان ورقة بحثية جديدة على خادم ما قبل الطباعة arXiv.org مفادها أن يدعي أنه قد كسر أحد هذه الأهداف. إذا صمدت أعمالهم للتدقيق، فسوف يمثل ذلك خطوة كبيرة نحو ترسيخ الفيزياء في الرياضيات، وقد يفتح الباب لأبحاث مماثلة. اختراقات في مجالات أخرى من الفيزياء.

يقترح الباحثون في هذه الورقة أنهم اكتشفوا كيفية توحيد ثلاث نظريات فيزيائية تشرح حركة السوائل. تحكم هذه النظريات مجموعة من التطبيقات الهندسية، بدءًا من تصميم الطائرات وحتى التنبؤ بالطقس، لكنها حتى الآن استندت إلى افتراضات لم يتم إثباتها بشكل صارم. لن يغير هذا الاختراق النظريات نفسها، لكنه يبررها رياضيًا ويعزز ثقتنا في أن المعادلات تعمل بالطريقة التي نعتقد أنها تعمل بها.

متعلق ب: ‘هل يمكنك التنبؤ بالمستقبل؟ نعم، بالطبع يمكنك ذلك.’: داخل المعادلة رقم 1 التي يمكنها التنبؤ بالطقس والأحداث الرياضية والمزيد

تختلف كل نظرية في مدى تركيزها على السائل أو الغاز المتدفق. على المستوى المجهري، تتكون السوائل من جزيئات – كرات بلياردو صغيرة تتقافز وتتصادم أحيانًا – و قوانين نيوتن للحركة تعمل بشكل جيد لوصف مساراتهم.

لكن عندما تبتعد لتنظر إلى السلوك الجماعي لأعداد كبيرة من الجسيمات، ما يسمى بالمستوى المجهري، لم يعد من المناسب تصميم كل واحدة على حدة. في عام 1872 عالم الفيزياء النظرية النمساوي لودفيج بولتزمان وقد تناول هذا الأمر عندما طور ما أصبح يعرف بمعادلة بولتزمان. بدلاً من تتبع سلوك كل جسيم، تأخذ المعادلة في الاعتبار محتمل سلوك أ عادي جسيم. يعمل هذا المنظور الإحصائي على تسهيل التفاصيل ذات المستوى المنخفض لصالح الاتجاهات ذات المستوى الأعلى. تسمح المعادلة للفيزيائيين بحساب كيفية تطور كميات مثل الزخم والتوصيل الحراري في السائل دون النظر بعناية في كل تصادم مجهري.

قم بالتصغير أكثر، وستجد نفسك في العالم المجهري. نحن هنا لا ننظر إلى السوائل كمجموعة من الجزيئات المنفصلة، ​​بل كمادة واحدة مستمرة. في هذا المستوى من التحليل، هناك مجموعة مختلفة من المعادلات – معادلات أويلر ونافييه-ستوكس – وصف دقيق لكيفية تحرك السوائل وكيفية ترابط خواصها الفيزيائية دون اللجوء إلى الجسيمات على الإطلاق.

تصف المستويات الثلاثة للتحليل نفس الحقيقة الأساسية، وهي كيفية تدفق السوائل. من حيث المبدأ، يجب أن تعتمد كل نظرية على النظرية التي تليها في التسلسل الهرمي: معادلات أويلر ونافير-ستوكس على المستوى العياني يجب أن تتبع منطقيًا معادلة بولتزمان على المستوى المجهري، والتي بدورها يجب أن تتبع منطقيًا قوانين نيوتن للحركة على المستوى المجهري. وهذا هو نوع “البديهية” الذي دعا إليه هيلبرت في مسألته السادسة، وأشار بوضوح إلى عمل بولتزمان حول الغازات في كتابه كتابة المشكلة. ونتوقع أن تتبع النظريات الفيزيائية الكاملة القواعد الرياضية التي تفسر الظاهرة من المستوى المجهري إلى المستوى العياني. إذا فشل العلماء في سد هذه الفجوة، فقد يشير ذلك إلى سوء فهم لنظرياتنا الحالية.

لقد شكل توحيد وجهات النظر الثلاثة حول ديناميكيات الموائع تحديًا عنيدًا لهذا المجال، لكن دينج وهاني وما ربما فعلوا ذلك للتو. يعتمد إنجازهم على عقود من التقدم التدريجي. جميع التطورات السابقة جاءت مصحوبة بنوع من العلامة النجمية؛ على سبيل المثال، لم تعمل الاشتقاقات المعنية إلا على فترات زمنية قصيرة، في فراغ أو في ظل ظروف مبسطة أخرى.

يتكون الدليل الجديد عمومًا من ثلاث خطوات: استخلاص النظرية العيانية من النظرية المجهرية؛ اشتق النظرية المجهرية من النظرية المجهرية. ومن ثم ربطهم معًا في اشتقاق واحد للقوانين العيانية بدءًا من القوانين المجهرية.

الخطوة الأولى كانت مفهومة من قبل، وحتى هيلبيرت نفسه ساهم فيها. من ناحية أخرى، كان استخلاص المجهري من المجهري أكثر صعوبة من الناحية الرياضية. تذكر أن الإعداد المجهري يدور حول السلوك الجماعي لأعداد كبيرة من الجزيئات. لذلك نظر دينغ وهاني وما إلى ما يحدث لمعادلات نيوتن حيث يزداد عدد الجسيمات الفردية المتصادمة والمرتدة إلى ما لا نهاية ويتقلص حجمها إلى ما لا نهاية. صفر. لقد أثبتوا أنه عند توسيع معادلات نيوتن إلى هذه الحدود القصوى، فإن السلوك الإحصائي للنظام – أو السلوك المحتمل لجسيم “نموذجي” في السائل – يتقارب مع حل معادلة بولتزمان. تشكل هذه الخطوة جسرًا من خلال استخلاص الرياضيات المجهرية من السلوك المتطرف للرياضيات المجهرية.

كانت العقبة الرئيسية في هذه الخطوة تتعلق بطول الفترة الزمنية التي تم فيها نمذجة المعادلات. كان معروفا بالفعل كيفية استخلاص معادلة بولتزمان من قوانين نيوتن في فترات زمنية قصيرة جدًا، لكن هذا لا يكفي لبرنامج هيلبرت، لأن موائع العالم الحقيقي يمكن أن تتدفق لأي فترة زمنية. مع الفترات الزمنية الأطول يأتي المزيد من التعقيد: يحدث المزيد من الاصطدامات، وقد يؤثر التاريخ الكامل لتفاعلات الجسيم على سلوكه الحالي. تغلب المؤلفون على ذلك من خلال إجراء حسابات دقيقة لمدى تأثير تاريخ الجسيم على حاضره والاستفادة من التقنيات الرياضية الجديدة للقول بأن التأثيرات التراكمية للاصطدامات السابقة تظل صغيرة.

تم لصق اختراقهم على المدى الطويل مع العمل السابق في اشتقاق أويلر و معادلات نافييه-ستوكس من معادلة بولتزمان يوحد ثلاث نظريات لديناميات الموائع. يبرر هذا الاكتشاف اتخاذ وجهات نظر مختلفة حول السوائل بناءً على ما هو أكثر فائدة في السياق، لأنها تتقارب رياضيًا على نظرية نهائية واحدة تصف واقعًا واحدًا. وبافتراض أن الدليل صحيح، فإنه يفتح آفاقا جديدة في برنامج هيلبرت. ولا يسعنا إلا أن نأمل أنه مع مثل هذه الأساليب الجديدة، سينفجر السد أمام تحديات هيلبرت، وسيتدفق المزيد من الفيزياء في اتجاه مجرى النهر.

تم نشر هذه المقالة لأول مرة في العلمية الأمريكية. © ساينتفيك أمريكان.كوم. جميع الحقوق محفوظة. تابع تيك توك وإنستغرام, X و فيسبوك.