تم تعريفه في الأصل على أنه النسبة بين محيط الدائرة وقطرها، باي – مكتوب بالحرف اليوناني π – يظهر في جميع أنحاء الرياضيات، بما في ذلك في المجالات غير المرتبطة تمامًا بدوائر مثل الكيمياء والعلوم الفيزيائية والطب.

ينتمي باي إلى مجموعة رياضية ضخمة تسمى الأعداد غير المنطقية، والتي تستمر إلى الأبد ولا يمكن كتابتها على شكل كسور. لقد حسب العلماء pi ل 105 تريليون رقم، على الرغم من أن معظمنا على دراية بالتقريب 3.14. لكن كيف نعرف أن pi هو رقم غير نسبي؟

الأعداد النسبية، التي تشكل غالبية الأعداد التي نستخدمها في حياتنا اليومية (على الرغم من أنها أقل من نصف جميع الأعداد الممكنة)، يمكن كتابتها في شكل عدد صحيح مقسوم على آخر. من المؤكد أن Pi، بسلسلة الكسور العشرية المعقدة، لا يبدو جزءًا من هذه المجموعة للوهلة الأولى.

“العقلانية هي الخاصية العملية المتمثلة في الوصول إلى الرقم بشكل صريح، أي دون أي تقريب… وبالتالي القدرة على كتابة الرقم بكمية محدودة من الرموز.” فاديم زوديلينوقال عالم الرياضيات في جامعة رادبود في هولندا لموقع Live Science.

متعلق ب: ما هو أكبر عدد أولي معروف؟

ومع ذلك، فإن إثبات عدم قدرتك على كتابة pi ككسر هو أمر معقد بشكل مدهش. علماء الرياضيات ليس لديهم طريقة عالمية لإثبات أن رقمًا معينًا غير نسبي، لذلك يجب عليهم تطوير دليل مختلف لكل حالة، كما أوضح كيث كونراد، عالم رياضيات في جامعة كونيتيكت. “كيف تعرف أن الرقم ليس كسرًا؟” قال. “أنت تحاول التحقق من خاصية سلبية.”

على الرغم من هذه الصعوبة، على مدار الـ 300 عام الماضية، أثبت علماء الرياضيات أدلة مختلفة على عدم عقلانية باي، باستخدام تقنيات من مختلف الرياضيات. تبدأ كل من هذه الحجج بافتراض أن باي عدد عقلاني، ومكتوب في شكل معادلة. من خلال سلسلة من التلاعبات و الخصومات فيما يتعلق بخصائص القيم المجهولة في هذه المعادلة، يصبح من الواضح لاحقًا أن الرياضيات تتعارض مع هذا التأكيد الأصلي، مما يؤدي إلى استنتاج مفاده أن باي يجب أن يكون غير عقلاني.

غالبًا ما تكون الرياضيات المحددة المعنية معقدة بشكل لا يصدق، وتتطلب عادةً فهمًا على المستوى الجامعي لحساب التفاضل والتكامل وعلم المثلثات والمتسلسلات اللانهائية. ومع ذلك، يعتمد كل نهج على هذه الفكرة المركزية للإثبات بالتناقض.

“هناك براهين تستخدم حساب التفاضل والتكامل والدوال المثلثيةقال كونراد: “في بعضها، تم تحديد π كأول حل إيجابي لـ sin(x) = 0. استخدم الدليل الأول الذي قدمه لامبرت في ستينيات القرن الثامن عشر قطعة من الرياضيات تسمى الكسور المستمرة اللانهائية – إنها نوع من الكسور المتداخلة بلا حدود.”

ومع ذلك، بدلًا من إثبات أن باي غير منطقي بشكل مباشر، فمن الممكن أيضًا تأكيد عدم العقلانية باستخدام خاصية مختلفة للرقم. ينتمي باي إلى مجموعة رقمية أخرى تسمى الأعداد المتعالية، وهي ليست جبرية، والأهم من ذلك، لا يمكن كتابتها كجذر لمعادلة متعددة الحدود. نظرًا لأن كل عدد متسامي غير نسبي، فإن أي دليل يوضح أن باي عدد متسامٍ يثبت أيضًا أن باي غير نسبي.

وقال كونراد: “باستخدام حساب التفاضل والتكامل مع الأعداد المركبة، يمكنك إثبات أن π متسامية”. “يستخدم الدليل المعادلة الشهيرة جدًا التي تسمى هوية أويلر: e^أنا +1 = 0.”

على الرغم من أن الأهمية العالمية لـ pi قد تنشأ من هذه اللاعقلانية غير الملموسة، إلا أن سبعة أو ثمانية منازل عشرية عادة ما تكون أكثر من كافية لأي تطبيقات في العالم الحقيقي. حتى تستخدم ناسا 16 رقمًا فقط من pi لحساباتها.

“نحن نقرب القيمة للأغراض العملية، 3.1415926 – إنها بالفعل معلومات كثيرة!” قال زوديلين. “لكن بالطبع في الرياضيات، الأمر ليس مرضيا. نحن نهتم بطبيعة الأرقام.”

مسابقة بي داي: كم تعرف عن هذا العدد غير العقلاني؟