لماذا تعتبر التغطية بالفسيفساء المذهلة أكثر من مجرد فن، وفقًا لعلماء الرياضيات

يكشف الباحثون عن البنية الرياضية وراء أنماط التبليط الرائعة، ويربطون جاذبيتها البصرية بتعقيد البحث الرياضي.

في دراسة جديدة، أظهر علماء الرياضيات في جامعة برلين الحرة أن التبليط المستوي، المعروف أيضًا باسم التغطية بالفسيفساء، هو أكثر بكثير من مجرد ترتيب زخرفي للأشكال.

تغطي التغطية بالفسيفساء السطح بالكامل بأشكال هندسية متكررة، دون فجوات أو تداخلات، وأثبت الباحثون أن هذه الهياكل يمكن أن تكون أيضًا بمثابة أدوات قوية لمعالجة المشكلات الرياضية الصعبة. ونشرت الدراسة التي أجراها هاينريش بيجير ودجيانغ وانغ في المجلة تحليل قابل للتطبيق. يجمع العمل أفكارًا من التحليل المعقد والمعادلات التفاضلية الجزئية ونظرية الوظيفة الهندسية.

أحد المفاهيم الرئيسية التي تم استكشافها في الدراسة هو “مبدأ انعكاس الباركيه”. تتضمن هذه الطريقة عكس الأشكال الهندسية بشكل متكرر عبر حوافها لملء المستوى، مما يؤدي إلى إنشاء أنماط متماثلة للغاية.

مثل هذه التغطية بالفسيفساء مألوفة بصريًا من خلال العمل الفني لـ MC Escher، لكن الباحثين يظهرون أن المبدأ له قيمة رياضية بعيدة المدى. على وجه الخصوص، فهو يوفر طريقة منهجية للتعامل مع مشاكل القيمة الحدودية الكلاسيكية، بما في ذلك مشاكل ديريشليت ونيومان، التي تنشأ بشكل متكرر في الفيزياء الرياضية.

يقول البروفيسور هاينريش بيجير: “يظهر بحثنا أن الجمال في الرياضيات ليس مجرد فكرة جمالية، بل هو شيء ذو عمق هيكلي وفعالية”. “في حين ركزت الأبحاث السابقة حول التغطية بالفسيفساء إلى حد كبير على كيفية استخدام الأشكال للتبليط أو تغطية السطح – على سبيل المثال، بعض الأعمال المعروفة التي قام بها السير روجر بنروز الحائز على جائزة نوبل – فإن استخدام طريقة انعكاس الباركيه لإنشاء فسيفساء جديدة يفتح إمكانيات جديدة. إنها أداة عملية لتطوير طرق لتمثيل الوظائف داخل هذه المناطق المبلطة، والتي يمكن أن تكون مفيدة في مجالات مثل الفيزياء الرياضية والهندسة.”

إحدى النتائج المهمة لهذا النهج هي القدرة على استخلاص صيغ واضحة لوظائف النواة، بما في ذلك حبات Green وNeumann وSchwarz. تلعب هذه الأدوات الرياضية دورًا مركزيًا في حل مشكلات القيمة الحدودية التي تواجهها الفيزياء والهندسة. وبهذه الطريقة، تقيم الدراسة رابطًا واضحًا بين الحدس الهندسي والأساليب التحليلية الصارمة.

لقد نما الاهتمام بمبدأ انعكاس الباركيه بشكل مطرد على مدى العقد الماضي، وخاصة بين الباحثين في بداية حياتهم المهنية. منذ أن تم تطوير هذا المفهوم لأول مرة، كان موضوعًا لخمسة عشر أطروحة وأطروحة نهائية في جامعة برلين الحرة، بالإضافة إلى سبع أطروحات دكتوراه إضافية أكملها باحثون في مؤسسات بالخارج.

ومن اللافت للنظر أن هذا المبدأ لا يعمل فقط في الفضاء الإقليدي، بل أيضًا في الأشكال الهندسية الزائدية، وهي الأنواع المستخدمة في الفيزياء النظرية والتصورات الحديثة للزمكان. الاهتمام بالمبدأ لا يزال مرتفعا. في العام الماضي، نشر بيجير مقالًا بعنوان “الفسيفساء الزائدية: الدالة الخضراء التوافقية لمثلث شويكارت في الهندسة الزائدية” في مجلة المتغيرات المعقدة والمعادلات الإهليلجية، حيث أظهر استخدام مبدأ الانعكاس الباركيه لبناء الدالة الخضراء التوافقية لمثلث شويكارت في المستوى الزائدي.

يقول داجيانغ وانغ: «نأمل أن يكون لنتائجنا صدى ليس فقط في الرياضيات البحتة والفيزياء الرياضية، بل قد تلهم أيضًا أفكارًا في مجالات مثل الهندسة المعمارية أو رسومات الكمبيوتر».

تقليد التبليط في برلين

منذ ما يقرب من عقدين من الزمن، كانت المجموعة البحثية بقيادة هاينريش بيجير في معهد الرياضيات بجامعة برلين الحرة تدرس ما يُعرف باسم “تبليط مرآة برلين” – وهي طريقة تعتمد على مبدأ الانعكاس الموحد الذي طوره عالم الرياضيات المقيم في برلين هيرمان أماندوس شوارتز (1843-1921).

في هذا الأسلوب، ينعكس المضلع الدائري – وهو الشكل الذي تتكون حوافه من قطع من خطوط مستقيمة وأقواس دائرية – بشكل متكرر حتى يتم تبليط المستوى بأكمله بسلاسة وكاملة، دون أي تداخلات أو فجوات. هذه الأنماط ليست ملفتة للنظر فحسب، بل تتيح أيضًا تمثيلات واضحة ومتكاملة للوظائف – وهي أداة رئيسية لحل مشكلات القيمة الحدودية المعقدة.

يقول بيجير: “كان على علماء الرياضيات ذات مرة استخدام مرآة مزخرفة مكونة من ثلاثة أجزاء لإنتاج سلسلة لا نهاية لها من الصور”. “في الوقت الحاضر، يمكننا استخدام برامج الكمبيوتر التكرارية لتوليد نفس التأثير – ويمكننا استكمال ذلك بصيغ رياضية دقيقة تستخدم في التحليل المعقد.”

مثلثات شويكارت والجمال الزائدي

على الرغم من أنها تعتبر مثيرة للإعجاب من الناحية الجمالية، إلا أن التغطية بالفسيفساء في المساحات الزائدية – على سبيل المثال، داخل قرص دائري – تمثل تحديًا خاصًا لعلماء الرياضيات. وهنا يأتي دور “مثلثات شويكارت”: مثلثات خاصة تتميز بزاوية قائمة واحدة وزاويتين صفريتين، سُميت على اسم عالم الرياضيات الهاوي وأستاذ القانون فرديناند كيرت شويكارت (1780‒1857).

تتيح هذه المثلثات إمكانية التبليط الكامل والمنتظم للقرص الدائري، مما يؤدي إلى إنتاج أنماط ذات جاذبية جمالية توفر إلهامًا جديدًا لفناني رسومات الكمبيوتر والمهندسين المعماريين على حدٍ سواء. وفي الوقت نفسه، فإن الإنشاءات الرياضية الأساسية معقدة للغاية وتتطلب أساليب تحليلية متقدمة.

الرياضيات كعلم بصري

تسلط النتائج التي توصل إليها الفريق الضوء على جانب من الرياضيات غالبًا ما يتم تجاهله: فهو ليس نظامًا تجريديًا فحسب، بل هو أيضًا علم بصري – وهو علم تلعب فيه البنية والتماثل والجماليات دورًا مركزيًا. عندما تقترن هذه الأفكار بتقنيات التصور الحديثة وبرامج الرسومات والأدوات الرقمية، تصبح أكثر أهمية.

مراجع:

“الجمال في/الرياضيات: التغطية بالفسيفساء وصيغها” بقلم H. Begehr وD. Wang، 13 يونيو 2025، تحليل قابل للتطبيق.
دوى: 10.1080/00036811.2025.2510472

“الفسيفساء الزائدية: الدالة الخضراء التوافقية لمثلث شويكارت في الهندسة الزائدية” بقلم هاينريش بيجير، 15 أكتوبر 2024، المتغيرات المعقدة والمعادلات الإهليلجية.
دوى: 10.1080/17476933.2024.2408729

لا تفوت أي اختراق: انضم إلى النشرة الإخبارية SciTechDaily.
تابعونا على جوجل و أخبار جوجل.